TAXAS E VELOCIDADES
TAXAS E VELOCIDADES
Derivadas e percentagens
Velocidades também são taxas*.
50 km/h é uma velocidade; 50 m/s é um valor (diferente) da mesma grandeza – velocidade –, mas equivalente a 180 km/h, e poderá ser uma “novidade”, uma dúvida ou uma dificuldade para algumas pessoas. As pessoas são correntemente sensíveis ao “km/h”, não ao “m/s”.
“Velocidade” é o termo comum para referir uma “taxa de variação” da (mudança de) posição de entidades físicas em movimento. Pode ser, por exemplo, a velocidade de um corpo (um automóvel, uma bala, um caracol), ou de uma onda (luz, gravidade, som e outras ondas mecânicas, como as que podem ser geradas na água de, por exemplo, um lago, entre outras).
Se se conhecer a expressão (algébrica) que dá a dependência da translação de um corpo com o tempo, a derivada (um operador matemático) da translação em ordem ao tempo permite conhecer a velocidade.
No sistema SI, as translações medem-se (ou contam‑se) em “metros”, as rotações em “radianos” e as vibrações/oscilações (contam‑se) em “ciclos”. As taxas de variação das translações com o tempo (velocidade linear) medem‑se em “metros por segundo” (m/s, m∙s−1); as taxas de variação das rotações com o tempo (velocidade angular) medem‑se em “radianos por segundo” (rad/s, s−1; a grandeza “ângulo” e o “rad” não têm “dimensões”); as taxas de variação do número de ciclos com o tempo (frequência, velocidade de oscilação) medem‑se em “hertz” (Hz, s−1). (A “velocidade angular” e a “frequência” têm a mesma dimensão – s−1 –, embora diferentes designações.)
Mede‑se a velocidade de expansão do Universo, melhor, a “taxa de expansão do Universo”: é cerca de 74 km/s por cada milhão de “parsecs”: 74 (km/s)/Mparsec; 1 Mparsec (um milhão de parsecs) equivale a uma distância de cerca de 3,3 milhões de anos‑luz**.
Se a temperatura, esta manhã, subiu 4 °C das dez horas (10 h) até ao meio dia (12 h), a taxa de variação (média) da temperatura, neste intervalo de tempo, foi de 4 °C/2 h, isto é, 2 °C/h, ou, dois celsius/hora.
Muitos relógios clássicos têm três ponteiros: o das horas, Ph, o dos minutos, Pmin e o dos segundos, Ps.
Na maioria destes relógios, Ph leva doze horas (12 h) a dar uma volta completa; Pmin dá uma volta completa em sessenta minutos (60 mim, 1 h) e Ps dá uma volta completa em sessenta segundos (60 s, 1 min).
Ph tem, em todos os relógios do tipo referido, velocidade angular 2π rad/12 h≈6,28 rad/12 h=6,28 rad/43 200 s≈0,000145 rad/s;
Pmin tem velocidade angular 2π rad/60 min≈6,28 rad/3600 s=0,00174 rad/s;
Ps tem velocidade angular 2π rad/60 s≈0,1047 rad/s.
* As taxas, por exemplo, de natalidade e de mortalidade, e as de crescimento de um tumor, não são correntemente designadas por velocidades.
As taxas são frequentemente expressas em percentagens (%), ou permilagens (‰).
** Correntemente, o Universo é assimilado a um balão elástico a encher.
Dois pontos próximos, sobre um balão de borracha a dilatar‑se, não se afastam tão depressa como dois pontos distantes sobre o mesmo balão – quanto maior a distância, mais veloz é a separação, maior o acréscimo de distância por cada unidade de tempo. Eis as “dimensões” da taxa de expansão do Universo: [L/T]/[L]=[L/TL]=[T−1], ou, identicamente, com unidades SI: (m/s)/m=m/(s∙m)=1/s=s−1; a “taxa de expansão do Universo” tem a mesma “dimensão” da “frequência” e da “velocidade angular”: [T−1]
2020‑04‑02
