Até uma criança, com um transferidor de plástico, barato, sabe medir ângulos.
Todos sabem o que é um ângulo: é a distância (angular) que vai de um ponto a outro na escala ou graduação do transferidor!
Na oficina e no laboratório usamos sutas e goniómetros, por exemplo.
Em geral, corta-se um bolo redondo aos gomos, ou porções, que são cunhas. Os planos de corte que, dois a dois, limitam as cunhas do bolo fazem um ângulo (entre si).
Um ângulo de um triângulo (plano) é a rotação de um qualquer dos seus lados até se sobrepor a outro lado adjacente. Também é aquele bocado de plano limitado por duas retas, que vai do vértice, ou ponto de concorrência das retas, até ao infinito.
Um ponto no GPS é um par de ângulos: a latitude e a longitude.
A rua X faz um ângulo com a ruaY. A rua Z faz um ângulo com a rua W maior do que o que a rua X faz com a rua Y.
Rodamos sem sair do sítio; rodamos muito, rodamos pouco, rodamos só um bocadinho: rodamos quanto?
Rodamos ¼ de volta, rodamos ½ volta, rodamos uma volta completa e ficamos na posição de que partimos; rodar 360° deixa-nos na posição inicial.
Toda a gente sabe que uma volta completa equivale a trezentos e sessenta graus (360°), por convenção. Uma volta corresponde a cerca de 6,28 rad (seis radianos e vinte e oito centésimos do radiano), ou, exatamente, 2π rad*.
Duas voltas completas equivalem a 720° (4π rad); e três voltas completas perfazem 1080° (6π rad).
Fazemos ângulos com as nossas pernas e com os braços.
Um ângulo (plano) é a porção de plano limitado por duas semirretas com um ponto comum.
Os ponteiros do relógio fazem ângulos entre si.
O Sol posiciona-se, inclina-se a diferentes ângulos, em relação à horizontal, entre a Nascente e o Poente.
Os antigos, para se orientarem no mar – e em terra! – mediam ângulos no Céu.
A sombra da vara ao Sol roda: vai girando e dando horas.
A hora e o minuto dos relógios de ponteiros são uma herança das horas e minutos da rotação da sombra da vara – do relógio de sol – ao Sol.
A sombra da vara varre uma superfície, uma superfície em forma de cunha, um ângulo; a sombra da ponta da vara descreve um arco – um ângulo de arco.
Se a sombra da vara mantivesse o seu comprimento enquanto roda, quando a ponta (da sombra) descrevesse um arco do tamanho do raio, o ângulo rodado valeria um radiano (1 rad), a unidade de ângulo do SI.
Os novos relógios, os digitais, não têm ponteiros, não fazem ângulos, dão horas apresentando uma sequência de algarismos.
Com compasso transferimos ângulos, mesmo sem sabermos definir o que é “ângulo”.
O esterradiano (sr), mais raramente estereorradiano, ou esferorradiano (em brasileiro), é a unidade de ângulo sólido.
O ângulo plano está para a circunferência assim como o ângulo sólido está para a esfera. Um cone é uma boa representação de um ângulo sólido.
* ”rad” e “°”, são símbolos de diferentes unidades de ângulo: 360°=2π rad, logo 1°=2π/360 rad, ou, 1 rad=360°/2π≈57,3°, sendo 57,3°=57° 18 min.
Na literatura técnica metrológica corrente, nem sempre, ou raramente, se distingue entre erro e incerteza. E, frequentemente, quando se diz “erro”, ou “erro relativo”, dever-se-ia dizer “incerteza”, ou “incerteza relativa”.
Consciente, ou inconscientemente, os dois termos são confundidos, misturados, equiparados, como se fossem designações alternativas do mesmo conceito.
Os erros (metrológicos), quando não são clandestinos, são geralmente corrigidos, ou até evitáveis. A incerteza (metrológica), não: é controlável, mas incontornável.
Determinar a incerteza (metrológica) é determinar o intervalo de valores à volta da medida onde esperamos que, com uma determinada probabilidade, esteja o valor verdadeiro, ou o valor exato de uma mensuranda (mensurando, em brasileiro). Todavia, nem dentro do intervalo de incerteza está garantida a presença do valor exato da mensuranda, já que a probabilidade de lá estar é sempre inferior a um (1), inferior a cem por cento (100%).
Porém, se fosse possível conhecer o valor exato, ou o valor verdadeiro da mensuranda, para que seriam necessárias todas as considerações, teorias e cálculos com erros, erros absolutos e erros relativos e incertezas?
O valor verdadeiro é só um conceito, uma ideia, uma abstração. Como diria Platão, é uma enteléquia (depositada no Olimpo).
Definir o que é o valor verdadeiro não é difícil; difícil, ou impossível, é conhecê‑lo, ou fixá-lo! Mas podemos convencionar o valor verdadeiro*. E podemos estabelecer, com probabilidade conhecida, o intervalo dentro do qual estará o valor verdadeiro.
Em geral, não é difícil, nem complicado fazer estimativas do valor verdadeiro de uma mensuranda. Qualquer medida da mensuranda é uma estimativa (ora boa, ora má, ou menos boa) da mesma.
Contudo, uma estimativa do valor verdadeiro (da mensuranda) não é o valor verdadeiro! Frequentemente, feitas várias medições e obtidas várias medidas de uma mensuranda, calcula‑se a respetiva média aritmética para assim se obter a melhor estimativa do verdadeiro valor que pode ser feita com aqueles valores.
O valor da incerteza poderá ser idêntico para duas determinadas medidas de duas grandezas da mesma natureza – comprimentos, por exemplo –, todavia, poderá haver mais qualidade numa das medidas do que na outra. Depende, por exemplo, da incerteza relativa: quanto mais baixa for a incerteza relativa, melhor a medida, ou a qualidade da medida, embora isso tenha um custo adicional: melhor qualidade, custos mais elevados.
Uma medida de valor nominal de dez metros (10,00 m) com uma incerteza de um centímetro (1 cm) é melhor do que outra medida com a mesma incerteza (1 cm), mas de valor nominal de um metro (1,00 m). Na primeira, a incerteza relativa é 0,1% (1 cm/10 m=1 cm/1000 cm=1/1000=0,001→1‰ →0,1%**); na outra, a incerteza relativa é 1% (1 cm/1 m=1 cm/100 cm=1/100=0,01→1%).
A incerteza relativa permite avaliar a qualidade da medida: em princípio, quanto menor for o valor da incerteza relativa melhor será a qualidade da medida.
*Apesar das medições e medidas da velocidade da luz, o valor adotado como constante universal (c0) é um valor convencionado.
**Em muitas áreas, a razão 0,01 representa-se por 1%; a razão 0,05 representa‑se por 5% e do mesmo modo com um número indeterminado de valores.
Dinheiro, um “dispositivo de medição” para a eternidade
O dinheiro “mede” tudo, apesar da aparente arbitrariedade dos preços.
O dinheiro é uma “medida” do valor; apesar da subjetividade do valor.
Valor?!, qual valor?
A palavra ou termo valor tem muitas e variadas aceções ou significados.
Medimos, por exemplo, o ouro, sobretudo através do seu valor (instantâneo) no mercado. Mas medimos também o valor das batatas, dos antibióticos, das missas (litúrgicas), por exemplo.
A água já tem preço*, o ar ainda não.
O dinheiro mede (quase) tudo; ou, tudo tem o seu preço, ou custo*.
“Valor” tem frequentemente o significado de intensidade, quantidade e medida, um conceito objetivo, entre muitos outros sentidos, significados e aceções. Correntemente este termo também é usado como referência económica.
“Dinheiro” é um instrumento para lidar com a grandeza valor (económico, ou equivalente).
O dinheiro é um conceito e instrumento que objetiva, materializa e operacionaliza o valor. Por exemplo, O IVA, ou Imposto sobre o Valor Acrescentado, é um imposto indireto sobre o valor, o preço*.
Conchas, vidrinhos, rodelinhas metálicas – as moedas – e até papeis pintados – as notas – são exemplos de dinheiro – fazível, contrafazível, falsificável.
Uma unidade monetária, algumas vezes, poderá ser virtual. Na Europa, o “ecu”, há tempos, antes do “euro”, parece ter sido um destes casos.
Dinheiro, entre outras utilidades, é um meio para a medição da grandeza “valor”, embora esta grandeza seja relevantemente subjetiva, volátil, sem a consistência das grandezas físicas e outras estabelecidas há muito tempo.
E os negócios são a atividade de quem sabe, presume, ou imagina que o valor de uma coisa pode ser superior em outro local, ou em outro tempo, no futuro, breve ou distante.
“Valor”, como mensuranda, é dinâmico, instável e subjetivo, variável de lugar para lugar e com pendor arbitrário (como nos monopólios e monopsónios).
Todavia, às vezes, o “valor” é fixado por tempo indeterminado, por exemplo, o valor de uma casa estabelecido pelas autoridades fiscais para efeitos de tributação (IMI – Imposto Municipal sobre Imóveis).
Até já houve padrões para o dinheiro, entre outros, o padrão ouro!
Dinheiro é um meio que quase tudo poderá medir: um kilograma de ouro, um dia de trabalho numa pedreira, ou um par de sapatos, entre milhões, ou um número indeterminado de, por exemplo, matérias-primas, artefactos, ou serviços, como, entre muitos outros: consultas médicas, assessorias e cortes de cabelo.
Quando ainda não havia dinheiro, todas as trocas seriam diretas: um coelho por uma galinha; duas cabras por um porco; um cavalo por uma vaca.
E, aparentemente, isto tem subjacente a noção – noção abstrata – de equivalência
Em princípio, litros, quilogramas, aliás, kilogramas, metros cúbicos, homens‑hora e quilowatts-hora, aliás, kilowatts‑hora podem ser postos em equivalência com euros, dólares, ienes, …, dinheiro.
*Custo é o que o comprador desembolsa; preço é o que o vendedor embolsa. Preço e custo nem sempre coincidem: na compra de um artefacto (carro), ou serviço (férias), a prestações, o comprador desembolsa mais do que embolsa o vendedor: há uma terceira entidade que embolsa os juros.
Em áreas técnicas, e até científicas, é frequente haver misturas de unidades de diferentes sistemas metrológicos.
Entre nós, e em quase todo o mundo, o Sistema Internacional de Unidades (SI), herdeiro do Sistema Métrico Decimal, é o sistema metrológico global, dominante.
As causas, razões, fatores desta dominância são, seguramente, substanciais.
Para além das vantagens da uniformização, racionalização e universalização de um sistema metrológico, eis um exemplo das vantagens de um sistema decimal: qual é a área de um retângulo de 13,2 m x 6,58 m? A resposta é simples e rápida, até para uma criança da primária, mesmo só com cálculo mental, procedimentos manuais e o algoritmo corrente da multiplicação.
E qual é a área de um retângulo de 9’ 5⅜” (nove pés, cinco polegadas e três oitavos) por 4’ 7⅜” (quatro pés, sete polegadas e três oitavos)? Sim, podemos calcular a dízima correspondente a cada fração das medidas do sistema inglês (geralmente feita com arredondamento), ou transformar estas medidas (inglesas) em medidas SI, medidas decimais, e depois proceder normalmente!
Mas, então, porquê sistemas diferentes do SI (um sistema decimal)?!
A tradição, os hábitos, o capital técnico acumulado e o orgulho nacional explicam, justificam e sustentam muita coisa.
Contudo, aparentemente, também teríamos dificuldades com a área de um retângulo de 23 cm 9 mm por 17 cm 8 mm. A dificuldade fica imediatamente resolvida escrevendo as dimensões do retângulo como 23,9 cm por 17,8 cm. Com estas expressões já poderemos usar o algoritmo corrente da multiplicação para calcular o resultado.
Qual o volume de argamassa de que necessitaríamos para encher um tubo de dois metros (2 m) de altura e dez polegadas de diâmetro (10")*? Não é tão simples como o volume de um cilindro de dois metros (2 m) de altura e vinte e cinco centímetros (25 cm) de diâmetro.
Há muitos casos de incidentes, acidentes e falhas de processos por causa da assunção ou presunção (preguiçosa) de que todas as unidades (não explícitas) são do nosso sistema, quando executamos projetos elaborados por técnicos familiarizados (só) com outro sistema**.
Mas, as misturas poderão ocorrer todos os dias, debaixo dos nossos olhos.
Por exemplo, os múltiplos do segundo (s) são comummente (comumente, em brasileiro) expressos em unidades correntes complexas e não pertencentes ao SI. Ninguém diz “dentro de seiscentos segundos” (600 s): diz-se “dentro de dez minutos” (10 min=600 s). Ninguém diz “foi há seis mil segundos” (6000 s), ou seis quilossegundos, aliás, kilossegundos (6 ks): diz-se “foi há uma hora e quarenta minutos” (1 h 40 min=6000 s).
Porém, os submúltiplos do segundo são sempre potências (negativas) de dez do segundo: dois décimos do segundo, dois decissegundos, 0,2 s (2∙10−1 s); três milissegundos, ou três milésimos do segundo, 3 ms (3∙10−3 s=0,003 s); sete microssegundos, 7 µs (7∙10−6 s), por exemplo.
*São frequentes produtos comerciais que misturam unidades de sistemas metrológicos distintos. Veja-se o caso dos pneus e muitos outros, por exemplo, no setor das tubagens
**É conhecida a perda de pelo menos um satélite no Espaço por causa de cálculos onde as forças consideradas em newtons (N) foram confundidas com forças em “libras” ( lb, lbf ou lbf).
Quatro metros (4 m) são o dobro de dois metros (2 m); doze amperes (12 A) são o quádruplo de três amperes (3 A), como cem quilómetros por hora (100 km/h) são o quíntuplo de vinte quilómetros por hora (20 km/h).
Se adicionarmos dois metros (2 m) a três metros (3 m) obteremos cinco metros (5 m). E, adicionar um litro (1 L) a sete litros (7 L) dá oito litros (8 L). Quem corre a dez quilómetros por hora (10 km/h) – não por muito tempo – dentro do comboio que segue a cento e dez quilómetros por hora (110 km/h), desloca-se a cento e vinte quilómetros por hora (120 km/h) em direção ao destino.
Quase todos os instrumentos de medição têm graduações lineares: distâncias iguais nas escalas correspondem a iguais variações da mensuranda: somar distâncias nas graduações é somar valores da mensuranda.
Toda a gente já mediu com réguas comuns (escalas aritméticas). A escala do termómetro (clínico, por exemplo) também é aritmética; como são aritméticas as escalas da maior parte dos instrumentos de medição que usamos.
Estas escalas são do tipo:
a) 0 1 2 3 4 5 6 …
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Sobre os riscos da graduação do instrumento de medição, a distâncias iguais uns dos outros, colocam-se os números da série a), ou outros de uma outra sequência linear, por exemplo, 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …
Mas há escalas de outra natureza – escalas geométricas.
Sejam as escalas seguintes:
b) 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 …
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b’) 100 101 102 103 104 105 106…
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c) 20 21 22 23 24 25 26…
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c’) 1 2 4 8 16 32 64
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As escalas b) e b’) são iguais, embora apresentadas em diferentes formatos.
As escalas b’) e c) são da mesma natureza, mas distintas. Qualquer uma das escalas b), b’), c) e c’) parece não começar por um zero – e não começa. A distâncias iguais, na escala, não correspondem variações iguais da grandeza. Por exemplo, na escala b), e na b’), a distâncias (entre riscos) iguais na escala correspondem as diferenças da grandeza de: nove (9) unidades na 1ª divisão, 90 na 2ª, 900 na 3ª, e por aí adiante!
Mas, se o leitor reparar nos expoentes, eles estão numa sequência aritmética, e começando por zero (0)! A distâncias iguais correspondem iguais variações do expoente, do logaritmo.
Quando os valores de uma grandeza se distribuem por uma grande amplitude, frequentemente são usadas escalas geométricas, mas nem sempre se usa a base dez para a base da expressão exponencial.
